Browsing by Author "MUHAMMAD FALDIYAN"

Now showing 1 - 2 of 2
  • No Thumbnail Available
    Item
    ALJABAR QUATERNION ATAS KOMPOSIT LAPANGAN KUADRATIK DAN APLIKASINYA PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL QUATERNION
    (2023-08-15) MUHAMMAD FALDIYAN; Ema Carnia; Asep Kuswandi Supriatna
    Bilangan quaternion adalah perluasan dari bilangan kompleks. Bilangan quaternion mempunyai empat komponen, yaitu satu bilangan real dan tiga bilangan imajiner. Bilangan quaternion dapat direpresentasikan dalam bentuk aljabar. Aljabar quaternion adalah ruang vektor atas lapangan yang dilengkapi dengan pemetaan bilinear. Aljabar quaternion atas lapangan dapat direpresentasikan sebagai ruang vektor berdimensi empat yang entrinya merupakan anggota dari suatu lapangan. Lapangan kuadratik adalah lapangan berderajat dua atas bilangan rasional Q. Bentuk lapangan kuadratik adalah a+b√d, di mana a,b∈Q dan d adalah bilangan bulat squarefree. Fungsi quaternion jauh berbeda dengan fungsi kompleks karena sifat tidak komutatif pada operasi perkaliannya. Fungsi quaternion yang diferensiabel adalah fungsi yang memiliki nilai yang sama pada turunan kiri dan turunan kanan. Turunan dari suatu fungsi bergantung pada bentuk fungsi dan domainnya. Salah satu persamaan yang melibatkan turunan dari satu fungsi atau lebih adalah metode persamaan diferensial. Metode persamaan diferensial merupakan langkah-langkah yang terdiri dari perubahan yang relatif sangat kecil terhadap keseluruhan struktur, meskipun langkah-langkahnya terpisah, pada dasarnya proses dapat diberlakukan sebagai proses kontinu. Perubahan satu langkah dalam lintasan variabel acak kemudian dapat didekati dengan turunan dari fungsi yang sesuai dengan nilai yang diharapkan. Penelitian ini mengkaji sifat split pada aljabar quaternion atas komposit dari n lapangan kuadratik yang belum pernah dikaji sebelumnya. Tujuan dari penelitian ini adalah memperoleh teorema tentang eksistensi sifat split pada aljabar quaternion atas komposit dari n lapangan kuadratik. Selain itu, penelitian ini bertujuan untuk menemukan bentuk umum persamaan diferensial dan solusinya pada aljabar quaternion atas komposit dari n lapangan kuadratik. Hasil dari penelitian ini adalah teorema tentang sifat split pada aljabar quaternion atas komposit dari n lapangan kuadratik dan memperoleh bentuk umum serta solusi persamaan diferensial pada aljabar quaternion atas komposit dari n lapangan kuadratik.
  • No Thumbnail Available
    Item
    ALJABAR QUATERNION ATAS LAPANGAN KUADRATIK
    (2023-08-15) MUHAMMAD FALDIYAN; Ema Carnia; Asep Kuswandi Supriatna
    Bilangan quaternion adalah perluasan dari sistem bilangan kompleks. Quaternion ditemukan dengan cara memformulasikan 4 titik di ruang vektor ℝ4 menggunakan hasil perkalian silang antar vektor standar 𝑖,𝑗, 𝑘. Aljabar quaternion atas lapangan adalah ruang vektor berdimensi 4 dengan basis {1,𝑖,𝑗, 𝑘} dan elemen dari aljabar tersebut merupakan anggota dari lapangannya. Klasifikasi aljabar quaternion dapat direpresentasikan dalam bentuk kuadratik. Lapangan kuadratik adalah perluasan lapangan dari bilangan rasional ℚ. Lapangan kuadratik memiliki bentuk yaitu 𝑎 + 𝑏√𝑑 dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ dan 𝑑 merupakan bilangan bulat squarefree. Penelitian ini mempelajari tentang struktur dari aljabar quaternion atas lapangan kuadratik. Aljabar quaternion merupakan ring yang tidak komutatif tetapi setiap elemennya memiliki invers elemen. Berdasarkan hal tersebut, penelitian ini akan mempelajari tentang karakteristik dari aljabar quaternion bersifat split di lapangan kuadratik dan kaitannya dengan central simple algebra. Selain itu, penelitian ini akan mempelajari tentang syarat cukup suatu aljabar quaternion bersifat split di lapangan kuadratik dan syarat perlu dan syarat cukup aljabar quaternion merupakan aljabar pembagian. Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi literatur tentang sifat split pada aljabar quaternion dalam bentuk kuadratik. Hasil dari penelitian ini berupa ekuivalensi dari aljabar quaternion bersifat split dan pembuktian teorema tentang keterkaitan antara central simple algebra dan aljabar quaternion. Selain itu, syarat perlu dan syarat cukup diperoleh untuk aljabar quaternion bersifat split dan aljabar pembagian. Kesimpulan dari penelitian ini adalah aljabar quaternion bersifat split memiliki 3 karakteristik yang berbeda serta syarat perlu dan syarat cukup dengan kondisi tertentu.